Naked Statistics è il libro più interessante sulla scienza più noiosa

2024 Autore: Malcolm Clapton | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 04:01

Chi ha detto che la statistica è una scienza noiosa e inutile? Charles Wheelan sostiene in modo convincente che questo è tutt'altro che vero. Oggi pubblichiamo un estratto dal suo libro su come vincere un'auto, non una capra, usando le statistiche e capiamo che l'intuizione può fuorviarvi.

L'enigma di Monty Hall

Il mistero di Monty Hall è un famoso problema della teoria della probabilità che ha sconcertato i partecipanti a uno spettacolo di giochi chiamato Let's Make a Deal, ancora popolare in diversi paesi, che ha debuttato negli Stati Uniti nel 1963. (Ricordo ogni volta che guardavo questo programma da bambino, quando non andavo a scuola a causa di una malattia.) Nell'introduzione al libro, ho già sottolineato che questo programma a giochi può essere interessante per gli statistici. Alla fine di ciascuna delle sue emissioni, il partecipante che ha raggiunto la finale si trovava con Monty Hall davanti a tre grandi porte: la porta n. 1, la porta n. 2 e la porta n. 3. Monty Hall ha spiegato al finalista che dietro una di queste porte era un premio molto prezioso - per esempio una macchina nuova e una capra dietro le altre due. Il finalista doveva scegliere una delle porte e prendere ciò che c'era dietro. (Non so se c'era almeno una persona tra i partecipanti allo spettacolo che voleva prendere una capra, ma per semplicità, supponiamo che la stragrande maggioranza dei partecipanti abbia sognato una nuova auto.)

La probabilità iniziale di vincita è abbastanza facile da determinare. Ci sono tre porte, due nasconde una capra e la terza nasconde un'auto. Quando un partecipante allo spettacolo si trova di fronte a queste porte con Monty Hall, ha una possibilità su tre di scegliere la porta dietro la quale si trova l'auto. Ma, come notato sopra, c'è un problema in Let's Make a Deal che ha immortalato questo programma televisivo e il suo presentatore nella letteratura sulla teoria della probabilità. Dopo che il finalista dello spettacolo indica una delle tre porte, Monty Hall apre una delle due rimanenti, dietro la quale c'è sempre una capra. Quindi Monty Hall chiede al finalista se vuole cambiare idea, cioè abbandonare la porta chiusa precedentemente selezionata a favore di un'altra porta chiusa.

Diciamo, per esempio, che il partecipante ha indicato la porta n. 1. Quindi Monty Hall ha aperto la porta n. 3, dietro la quale si nascondeva la capra. Due porte, la Porta n. 1 e la Porta n. 2, rimangono chiuse. Se il prezioso premio si trovava dietro la Porta n. 1, il finalista lo avrebbe vinto, e se si trovava dietro la Porta n. 2, avrebbe perso. È a questo punto che Monty Hall chiede al giocatore se vuole cambiare la sua scelta iniziale (in questo caso, abbandona la Porta #1 in favore della Porta #2). Ricorderai, naturalmente, che entrambe le porte sono ancora chiuse. L'unica nuova informazione che il partecipante ha ricevuto è che la capra è finita dietro una delle due porte che non ha scelto.

Il finalista dovrebbe abbandonare la scelta iniziale a favore della Porta #2?

Rispondo: sì, dovrebbe. Se si attiene alla scelta originale, la probabilità di vincere un premio prezioso sarà ⅓; se cambia idea e indica la porta n. 2, la probabilità di vincere un premio prezioso sarà ⅔. Se non mi credi, continua a leggere.

Ammetto che questa risposta è tutt'altro che ovvia a prima vista. Sembra che qualunque delle restanti due porte scelga il finalista, la probabilità di ricevere un premio di valore in entrambi i casi sia ⅓. Ci sono tre porte chiuse. All'inizio, la probabilità che dietro uno di essi si nasconda un premio di valore è ⅓. La decisione del finalista di cambiare la sua scelta in favore di un'altra porta chiusa fa differenza?

Naturalmente, dal momento che il problema è che Monty Hall sa cosa c'è dietro ogni porta. Se il finalista sceglie la porta n. 1 e c'è davvero un'auto dietro di essa, Monty Hall può aprire la porta n. 2 o la porta n. 3 per rivelare la capra in agguato dietro di essa.

Se il finalista seleziona la porta 1 e l'auto è dietro la porta 2, Monty Hall aprirà la porta 3.

Se il finalista indica la porta 1 e l'auto è dietro la porta 3, Monty Hall aprirà la porta 2.

Cambiando idea dopo che il presentatore ha aperto una delle porte, il finalista ha il vantaggio di scegliere due porte invece di una. Cercherò di convincervi della correttezza di questa analisi in tre modi diversi.

Il primo è empirico. Nel 2008, l'editorialista del New York Times John Tyerney ha scritto del fenomeno Monty Hall. Successivamente, lo staff della pubblicazione ha sviluppato un programma interattivo che ti consente di giocare a questo gioco e decidere autonomamente se modificare o meno la tua scelta iniziale. (Il programma prevede anche caprette e macchinine che compaiono da dietro le porte.) Il programma registra le tue vincite nel caso in cui cambi la tua scelta iniziale, e nel caso in cui rimani poco convinto. Ho pagato una delle mie figlie per giocare a questo gioco 100 volte, cambiando ogni volta la sua scelta originale. Ho anche pagato suo fratello per giocare 100 volte, mantenendo ogni volta la decisione originale. La figlia ha vinto 72 volte; suo fratello 33 volte. Ogni sforzo è stato ricompensato con due dollari.

Le prove dagli episodi del gioco Let's Make a Deal mostrano lo stesso schema. Secondo Leonard Mlodinov, autore di The Drunkard's Walk, i finalisti che hanno cambiato la loro scelta iniziale avevano circa il doppio delle probabilità di vincere rispetto a quelli che non erano convinti.

La mia seconda spiegazione per questo fenomeno si basa sull'intuizione. Diciamo che le regole del gioco sono leggermente cambiate. Ad esempio, il finalista inizia scegliendo una delle tre porte: Porta n. 1, Porta n. 2 e Porta n. 3, come originariamente previsto. Tuttavia, poi, prima di aprire una delle porte, dietro le quali si nasconde la capra, Monty Hall chiede: "Accetti di rinunciare alla tua scelta in cambio dell'apertura delle due porte rimanenti?" Quindi, se hai scelto la porta n. 1, puoi cambiare idea a favore della porta n. 2 e della porta n. 3. Se hai indicato prima la porta n. 3, puoi selezionare la porta n. 1 e la porta n. 2. E così via.

Questa non sarebbe una decisione particolarmente difficile per te: è abbastanza ovvio che dovresti rinunciare alla scelta iniziale a favore delle due porte rimanenti, poiché questo aumenta le possibilità di vincita da ⅓ a ⅔. La cosa più interessante è che è questo, in sostanza, che Monty Hall ti offre in un vero gioco, dopo aver aperto la porta dietro la quale si nasconde la capra. Il fatto fondamentale è che se ti fosse data la possibilità di scegliere due porte, dietro una di esse si nasconderebbe comunque una capra. Quando Monty Hall apre la porta dietro la quale si trova la capra, e solo allora ti chiede se accetti di cambiare la tua scelta iniziale, aumenta notevolmente le tue possibilità di vincere un prezioso premio! Fondamentalmente, Monty Hall ti sta dicendo: "Le possibilità che un prezioso premio si nasconda dietro una delle due porte che non hai scelto la prima volta sono ⅔, che è comunque più di ⅓!"

Puoi immaginarlo così. Supponiamo che tu abbia indicato la porta n. 1. Dopodiché, Monty Hall ti dà l'opportunità di abbandonare la decisione originale a favore della porta n. 2 e della porta n. 3. Sei d'accordo e hai due porte a tua disposizione, il che significa che hai ogni motivo si aspetta di vincere un premio prezioso con una probabilità di, non di ⅓. Cosa sarebbe successo se in questo momento Monty Hall avesse aperto la Porta 3 - una delle "vostre" porte - e dietro ci fosse stata una capra? Questo fatto scuoterebbe la tua fiducia nella tua decisione? Ovviamente no. Se l'auto si fosse nascosta dietro la porta 3, Monty Hall avrebbe aperto la porta 2! Non ti mostrerebbe niente.

Quando il gioco viene giocato secondo uno scenario knock-off, Monty Hall ti dà davvero la possibilità di scegliere tra la porta che hai specificato all'inizio e le due porte rimanenti, una delle quali potrebbe essere un'auto. Quando Monty Hall apre la porta dietro la quale si nasconde la capra, ti sta semplicemente facendo un favore mostrandoti quale delle altre due porte non è la macchina. Hai le stesse probabilità di vincita in entrambi i seguenti scenari.

1. Selezionando la porta n. 1, quindi accettando di "passare" alla porta n. 2 e alla porta n. 3 anche prima che venga aperta qualsiasi porta.
2. Selezionando la porta n. 1, quindi accettando di "passare" alla porta n. 2 dopo che Monty Hall ti ha mostrato la capra dietro la porta n. 3 (o scegliendo la porta n. 3 dopo che Monty Hall ti ha mostrato la capra dietro la porta n. 2).

In entrambi i casi, abbandonare la decisione originale ti dà il vantaggio di due porte su una, e puoi così raddoppiare le tue possibilità di vittoria da ⅓ a ⅔.

La mia terza opzione è una versione più radicale della stessa intuizione di base. Supponiamo che Monty Hall ti chieda di scegliere una delle 100 porte (invece di una delle tre). Dopo averlo fatto, ad esempio indicando la porta # 47, apre le 98 porte rimanenti, che riveleranno le capre. Ora restano chiuse solo due porte: la tua Porta n. 47 e un'altra, ad esempio, la Porta n. 61. Dovresti rinunciare alla tua scelta iniziale?

Certo che si! C'è una probabilità del 99% che l'auto si trovi dietro una delle porte che non hai scelto all'inizio. Monty Hall ti ha fatto la cortesia aprendo 98 di queste porte, non c'era nessuna macchina dietro di loro. Quindi, c'è solo 1 possibilità su 100 che la tua scelta iniziale (porta # 47) sia corretta. Allo stesso tempo, ci sono 99 possibilità su 100 che la tua scelta iniziale sia sbagliata. In tal caso, l'auto si trova dietro la porta rimanente, ovvero la porta n. 61. Se vuoi giocare con la probabilità di vincere 99 volte su 100, allora dovresti "passare" alla porta n. 61.

In breve, se mai dovessi giocare a Let's Make a Deal, dovrai sicuramente tornare sui tuoi passi sulla decisione originale quando Monty Hall (o chiunque lo sostituirà) ti darà una scelta. Una conclusione più universale di questo esempio è che le tue supposizioni intuitive sulla probabilità di determinati eventi a volte possono fuorviarti.